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Muy bien, vamos a resolver este problema paso a paso.
Paso 1: Completar cuadrados para x e y.
Para x:
4x² + 16x = 4(x² + 4x) = 4(x² + 4x + 4 - 4) = 4(x + 2)² - 16
Para y:
9y² - 54y = 9(y² - 6y) = 9(y² - 6y + 9 - 9) = 9(y - 3)² - 81
Sustituyendo en la ecuación original:
4(x + 2)² - 16 + 9(y - 3)² - 81 + 61 = 0
Simplificando:
4(x + 2)² + 9(y - 3)² = 36
Dividiendo ambos lados por 36:
4(x + 2)²/36 + 9(y - 3)²/36 = 1
Simplificando:
(x + 2)²/9 + (y - 3)²/4 = 1
Paso 2: Identificar la forma canónica y los elementos de la cónica.
La ecuación está en la forma canónica de una elipse:
(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1, donde (h, k) es el centro, a y b son las longitudes de los semiejes.
Centro: (-2, 3)
Vértices: (-2, 3 ± 2) = (-2, 1) y (-2, 5)
Focos: (-2, 3 ± √5) ≈ (-2, 0.76) y (-2, 5.24)
Paso 3: Trazar la gráfica.
Graficar la elipse con centro en (-2, 3), vértices en (-2, 1) y (-2, 5), y focos en (-2, 0.76) y (-2, 5.24).
[Aquí se incluiría un gráfico de la elipse descrita, con los elementos señalados. Lamentablemente, no puedo generar o producir imágenes.]
En resumen, la ecuación dada representa una elipse con centro en (-2, 3), vértices en (-2, 1) y (-2, 5), y focos en (-2, 0.76) y (-2, 5.24).
