Answer :
Para resolver la integral definida [tex]\(\int_{-3}^3 6x \, dx\)[/tex], vamos a proceder paso a paso:
1. Identificación de la función a integrar:
La función que vamos a integrar es [tex]\(6x\)[/tex].
2. Determinar el tipo de integral:
Nos piden calcular una integral definida desde [tex]\(-3\)[/tex] hasta [tex]\(3\)[/tex]:
[tex]\[ \int_{-3}^3 6x \, dx \][/tex]
3. Evaluar las propiedades:
Observamos que la función [tex]\(6x\)[/tex] es una función lineal (y por tanto, una función impar), ya que [tex]\(f(-x) = -f(x)\)[/tex].
4. Usar la propiedad de las funciones impares:
La integral de una función impar sobre un intervalo simétrico alrededor del origen es siempre cero:
[tex]\[ \int_{-a}^a f(x) \, dx = 0 \quad \text{si} \quad f(x) \quad \text{es una función impar.} \][/tex]
5. Conclusión del cálculo:
Dado que [tex]\(6x\)[/tex] es una función impar y el intervalo de integración [tex]\([-3, 3]\)[/tex] es simétrico alrededor del origen, la integral se simplifica a:
[tex]\[ \int_{-3}^3 6x \, dx = 0 \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de la integral definida es:
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
1. Identificación de la función a integrar:
La función que vamos a integrar es [tex]\(6x\)[/tex].
2. Determinar el tipo de integral:
Nos piden calcular una integral definida desde [tex]\(-3\)[/tex] hasta [tex]\(3\)[/tex]:
[tex]\[ \int_{-3}^3 6x \, dx \][/tex]
3. Evaluar las propiedades:
Observamos que la función [tex]\(6x\)[/tex] es una función lineal (y por tanto, una función impar), ya que [tex]\(f(-x) = -f(x)\)[/tex].
4. Usar la propiedad de las funciones impares:
La integral de una función impar sobre un intervalo simétrico alrededor del origen es siempre cero:
[tex]\[ \int_{-a}^a f(x) \, dx = 0 \quad \text{si} \quad f(x) \quad \text{es una función impar.} \][/tex]
5. Conclusión del cálculo:
Dado que [tex]\(6x\)[/tex] es una función impar y el intervalo de integración [tex]\([-3, 3]\)[/tex] es simétrico alrededor del origen, la integral se simplifica a:
[tex]\[ \int_{-3}^3 6x \, dx = 0 \][/tex]
Por lo tanto, el resultado de la integral definida es:
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
