Answer :
¡Claro! Vamos a resolver cada uno de los puntos requeridos para la ecuación de onda [tex]\( y = 12 \sin(x - 115\pi t) \)[/tex].
1. Amplitud (A):
La amplitud es el coeficiente multiplicador del seno en la ecuación de onda. Aquí, la amplitud es [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm.
2. Número de onda (k):
El número de onda se obtiene del coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex] dentro del seno. En este caso, ese coeficiente es 1, por lo tanto, el número de onda es [tex]\( k = 1 \)[/tex] cm[tex]\(^{-1}\)[/tex].
3. Frecuencia angular (ω):
La frecuencia angular es el coeficiente del término [tex]\( t \)[/tex] dentro del seno. Aquí, la frecuencia angular es [tex]\( \omega = 115\pi \)[/tex]. Aproximadamente esto es:
[tex]\[ \omega \approx 361.283 \, \text{rad/s} \][/tex]
4. Longitud de onda (λ):
La longitud de onda se relaciona con el número de onda a través de la ecuación: [tex]\( \lambda = \frac{2\pi}{k} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( k = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \approx 6.283 \, \text{cm} \][/tex]
5. Periodo (T):
El periodo está relacionado con la frecuencia angular mediante la fórmula [tex]\( T = \frac{2\pi}{\omega} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( \omega = 115\pi \)[/tex]:
[tex]\[ T = \frac{2\pi}{115\pi} = \frac{2}{115} \approx 0.01739 \, \text{s} \][/tex]
6. Frecuencia (f):
La frecuencia es el inverso del periodo, [tex]\( f = \frac{1}{T} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( T \approx 0.01739 \)[/tex] s:
[tex]\[ f \approx \frac{1}{0.01739} \approx 57.5 \, \text{Hz} \][/tex]
7. Velocidad de propagación de la onda (v):
La velocidad de propagación de la onda se calcula con [tex]\( v = \lambda f \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( \lambda \approx 6.283 \)[/tex] cm y [tex]\( f \approx 57.5 \)[/tex] Hz:
[tex]\[ v \approx 6.283 \times 57.5 \approx 361.283 \, \text{cm/s} \][/tex]
8. Sentido de propagación:
La onda se propaga en sentido positivo del eje [tex]\( x \)[/tex], ya que el término en la función senoidal se presenta como [tex]\( (x - 115\pi t) \)[/tex].
9. Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]:
Sustituyendo [tex]\( x = 5 \)[/tex] cm en la ecuación de onda original:
[tex]\[ y = 12 \sin(5 - 115\pi t) \][/tex]
Entonces, la ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex] es:
[tex]\[ y(5, t) = 12 \sin(5 - 115\pi t) \][/tex]
10. Máxima velocidad (V[tex]\(_{\text{max}}\)[/tex]) y máxima aceleración (A[tex]\(_{\text{max}}\)[/tex]) de la partícula:
- La velocidad máxima de una partícula en una onda se calcula como [tex]\( V_{\text{max}} = A \omega \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm y [tex]\( \omega \approx 361.283 \)[/tex] rad/s:
[tex]\[ V_{\text{max}} \approx 12 \times 361.283 \approx 4335.398 \, \text{cm/s} \][/tex]
- La aceleración máxima de una partícula en una onda se calcula como [tex]\( A_{\text{max}} = A \omega^2 \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm y [tex]\( \omega \approx 361.283 \)[/tex] rad/s:
[tex]\[ A_{\text{max}} \approx 12 \times (361.283)^2 \approx 1566306.218 \, \text{cm/s}^2 \][/tex]
Espero que esta explicación detallada te haya ayudado a comprender cómo se extraen y calculan estos parámetros de la ecuación de una onda.
1. Amplitud (A):
La amplitud es el coeficiente multiplicador del seno en la ecuación de onda. Aquí, la amplitud es [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm.
2. Número de onda (k):
El número de onda se obtiene del coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex] dentro del seno. En este caso, ese coeficiente es 1, por lo tanto, el número de onda es [tex]\( k = 1 \)[/tex] cm[tex]\(^{-1}\)[/tex].
3. Frecuencia angular (ω):
La frecuencia angular es el coeficiente del término [tex]\( t \)[/tex] dentro del seno. Aquí, la frecuencia angular es [tex]\( \omega = 115\pi \)[/tex]. Aproximadamente esto es:
[tex]\[ \omega \approx 361.283 \, \text{rad/s} \][/tex]
4. Longitud de onda (λ):
La longitud de onda se relaciona con el número de onda a través de la ecuación: [tex]\( \lambda = \frac{2\pi}{k} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( k = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \approx 6.283 \, \text{cm} \][/tex]
5. Periodo (T):
El periodo está relacionado con la frecuencia angular mediante la fórmula [tex]\( T = \frac{2\pi}{\omega} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( \omega = 115\pi \)[/tex]:
[tex]\[ T = \frac{2\pi}{115\pi} = \frac{2}{115} \approx 0.01739 \, \text{s} \][/tex]
6. Frecuencia (f):
La frecuencia es el inverso del periodo, [tex]\( f = \frac{1}{T} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( T \approx 0.01739 \)[/tex] s:
[tex]\[ f \approx \frac{1}{0.01739} \approx 57.5 \, \text{Hz} \][/tex]
7. Velocidad de propagación de la onda (v):
La velocidad de propagación de la onda se calcula con [tex]\( v = \lambda f \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( \lambda \approx 6.283 \)[/tex] cm y [tex]\( f \approx 57.5 \)[/tex] Hz:
[tex]\[ v \approx 6.283 \times 57.5 \approx 361.283 \, \text{cm/s} \][/tex]
8. Sentido de propagación:
La onda se propaga en sentido positivo del eje [tex]\( x \)[/tex], ya que el término en la función senoidal se presenta como [tex]\( (x - 115\pi t) \)[/tex].
9. Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]:
Sustituyendo [tex]\( x = 5 \)[/tex] cm en la ecuación de onda original:
[tex]\[ y = 12 \sin(5 - 115\pi t) \][/tex]
Entonces, la ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex] es:
[tex]\[ y(5, t) = 12 \sin(5 - 115\pi t) \][/tex]
10. Máxima velocidad (V[tex]\(_{\text{max}}\)[/tex]) y máxima aceleración (A[tex]\(_{\text{max}}\)[/tex]) de la partícula:
- La velocidad máxima de una partícula en una onda se calcula como [tex]\( V_{\text{max}} = A \omega \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm y [tex]\( \omega \approx 361.283 \)[/tex] rad/s:
[tex]\[ V_{\text{max}} \approx 12 \times 361.283 \approx 4335.398 \, \text{cm/s} \][/tex]
- La aceleración máxima de una partícula en una onda se calcula como [tex]\( A_{\text{max}} = A \omega^2 \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm y [tex]\( \omega \approx 361.283 \)[/tex] rad/s:
[tex]\[ A_{\text{max}} \approx 12 \times (361.283)^2 \approx 1566306.218 \, \text{cm/s}^2 \][/tex]
Espero que esta explicación detallada te haya ayudado a comprender cómo se extraen y calculan estos parámetros de la ecuación de una onda.
