Answer :
Claro, vamos a llevar a cabo la descomposición en factores comunes de cada uno de los polinomios uno a uno:
1) [tex]\( a(x+1) + b(x+1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(a(x+1)\)[/tex] y [tex]\(b(x+1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x+1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x+1)\)[/tex]:
[tex]\[ a(x+1) + b(x+1) = (a + b)(x + 1) \][/tex]
13) [tex]\( a^3(a - b + 1) - b^2(a - b + 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(a^3(a - b + 1)\)[/tex] y [tex]\(b^2(a - b + 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((a - b + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a - b + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ a^3(a - b + 1) - b^2(a - b + 1) = (a^3 - b^2)(a - b + 1) \][/tex]
3) [tex]\( 2(x - 1) + y(x - 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(2(x - 1)\)[/tex] y [tex]\(y(x - 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 2(x - 1) + y(x - 1) = (y + 2)(x - 1) \][/tex]
15) [tex]\( x(2a + b + c) - 2a - b - c \)[/tex]
1. Notamos que [tex]\(x(2a + b + c)\)[/tex] y [tex]\(-(2a + b + c)\)[/tex] (después de reacomodar) tienen el factor común [tex]\((2a + b + c)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((2a + b + c)\)[/tex]:
[tex]\[ x(2a + b + c) - (2a + b + c) = (x - 1)(2a + b + c) \][/tex]
5) [tex]\( 2x(n - 1) - 3y(n - 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(2x(n - 1)\)[/tex] y [tex]\(3y(n - 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((n - 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((n - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 2x(n - 1) - 3y(n - 1) = (n - 1)(2x - 3y) \][/tex]
17) [tex]\( (x + 1)(x + 2) + 3y(x - 2) \)[/tex]
1. En este caso, no todos los términos tienen factores comunes obvios.
2. Examinando los términos cuidadosamente, observamos que no podemos factorizar más allá:
[tex]\[ (x + 1)(x + 2) + 3y(x - 2) = x^2 + 3xy + 3x - 6y + 2 \][/tex]
7) [tex]\( x(a + 1) - a - 1 \)[/tex]
1. Observamos que [tex]\(x(a + 1)\)[/tex] y [tex]\(-(a + 1)\)[/tex] (después de reacomodar) tienen el factor común [tex]\((a + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ x(a + 1) - (a + 1) = (a + 1)(x - 1) \][/tex]
19) [tex]\( (x^2 + 2)(m - n) + 2(m - n) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((x^2 + 2)(m - n)\)[/tex] y [tex]\(2(m - n)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((m - n)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((m - n)\)[/tex]:
[tex]\[ (x^2 + 2)(m - n) + 2(m - n) = (x^2 + 4)(m - n) \][/tex]
9) [tex]\( 3x(x - 2) - 2y(x - 2) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(3x(x - 2)\)[/tex] y [tex]\(2y(x - 2)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 2)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 2)\)[/tex]:
[tex]\[ 3x(x - 2) - 2y(x - 2) = (x - 2)(3x - 2y) \][/tex]
21) [tex]\( 5x(a^2 + 1) + (x + 1)(a^2 + 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(5x(a^2 + 1)\)[/tex] y [tex]\((x + 1)(a^2 + 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((a^2 + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a^2 + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 5x(a^2 + 1) + (x + 1)(a^2 + 1) = (a^2 + 1)(5x + x + 1) = (a^2 + 1)(6x + 1) \][/tex]
11) [tex]\( 4x(m - n) + n - m \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(4x(m - n)\)[/tex] y [tex]\((n - m)\)[/tex] (después de reacomodar) tienen el factor común [tex]\((m - n)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((m - n)\)[/tex]:
[tex]\[ 4x(m - n) + (n - m) = (m - n)(4x - 1) \][/tex]
23) [tex]\( (m + n)(a - 2) + (m - n)(a - 2) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((m + n)(a - 2)\)[/tex] y [tex]\((m - n)(a - 2)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((a - 2)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a - 2)\)[/tex]:
[tex]\[ (m + n)(a - 2) + (m - n)(a - 2) = (a - 2)(m + n + m - n) = 2m(a - 2) \][/tex]
25) [tex]\( (x - 3)(x - 4) + (x - 3)(x + 4) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((x - 3)(x - 4)\)[/tex] y [tex]\((x - 3)(x + 4)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 3)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 3)\)[/tex]:
[tex]\[ (x - 3)(x - 4) + (x - 3)(x + 4) = (x - 3)(x - 4 + x + 4) = (x - 3)(2x) = 2x(x - 3) \][/tex]
27) [tex]\( (a + b - c)(x - 3) - (b - c - a)(x - 3) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((a + b - c)(x - 3)\)[/tex] y [tex]\((b - c - a)(x - 3)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 3)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 3)\)[/tex]:
[tex]\[ (a + b - c)(x - 3) - (b - c - a)(x - 3) = (x - 3)(a + b - c - b + c + a) = (x - 3)(2a) = 2a(x - 3) \][/tex]
29) [tex]\( a(n + 1) - b(n + 1) - n - 1 \)[/tex]
1. Agrupamos convenientemente [tex]\(a(n + 1) - b(n + 1) - (n + 1)\)[/tex] y observamos que tienen el factor común [tex]\((n + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((n + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ a(n + 1) - b(n + 1) - (n + 1) = (a - b - 1)(n + 1) \][/tex]
31) [tex]\( (1 + 3a)(x + 1) - 2a(x + 1) + 3(x + 1) \)[/tex]
1. Observamos que todos los términos [tex]\((1 + 3a)(x + 1)\)[/tex], [tex]\(-2a(x + 1)\)[/tex], y [tex]\(3(x + 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ (1 + 3a)(x + 1) - 2a(x + 1) + 3(x + 1) = (1 + 3a - 2a + 3)(x + 1) = (a + 4)(x + 1) \][/tex]
1) [tex]\( a(x+1) + b(x+1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(a(x+1)\)[/tex] y [tex]\(b(x+1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x+1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x+1)\)[/tex]:
[tex]\[ a(x+1) + b(x+1) = (a + b)(x + 1) \][/tex]
13) [tex]\( a^3(a - b + 1) - b^2(a - b + 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(a^3(a - b + 1)\)[/tex] y [tex]\(b^2(a - b + 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((a - b + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a - b + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ a^3(a - b + 1) - b^2(a - b + 1) = (a^3 - b^2)(a - b + 1) \][/tex]
3) [tex]\( 2(x - 1) + y(x - 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(2(x - 1)\)[/tex] y [tex]\(y(x - 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 2(x - 1) + y(x - 1) = (y + 2)(x - 1) \][/tex]
15) [tex]\( x(2a + b + c) - 2a - b - c \)[/tex]
1. Notamos que [tex]\(x(2a + b + c)\)[/tex] y [tex]\(-(2a + b + c)\)[/tex] (después de reacomodar) tienen el factor común [tex]\((2a + b + c)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((2a + b + c)\)[/tex]:
[tex]\[ x(2a + b + c) - (2a + b + c) = (x - 1)(2a + b + c) \][/tex]
5) [tex]\( 2x(n - 1) - 3y(n - 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(2x(n - 1)\)[/tex] y [tex]\(3y(n - 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((n - 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((n - 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 2x(n - 1) - 3y(n - 1) = (n - 1)(2x - 3y) \][/tex]
17) [tex]\( (x + 1)(x + 2) + 3y(x - 2) \)[/tex]
1. En este caso, no todos los términos tienen factores comunes obvios.
2. Examinando los términos cuidadosamente, observamos que no podemos factorizar más allá:
[tex]\[ (x + 1)(x + 2) + 3y(x - 2) = x^2 + 3xy + 3x - 6y + 2 \][/tex]
7) [tex]\( x(a + 1) - a - 1 \)[/tex]
1. Observamos que [tex]\(x(a + 1)\)[/tex] y [tex]\(-(a + 1)\)[/tex] (después de reacomodar) tienen el factor común [tex]\((a + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ x(a + 1) - (a + 1) = (a + 1)(x - 1) \][/tex]
19) [tex]\( (x^2 + 2)(m - n) + 2(m - n) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((x^2 + 2)(m - n)\)[/tex] y [tex]\(2(m - n)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((m - n)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((m - n)\)[/tex]:
[tex]\[ (x^2 + 2)(m - n) + 2(m - n) = (x^2 + 4)(m - n) \][/tex]
9) [tex]\( 3x(x - 2) - 2y(x - 2) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(3x(x - 2)\)[/tex] y [tex]\(2y(x - 2)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 2)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 2)\)[/tex]:
[tex]\[ 3x(x - 2) - 2y(x - 2) = (x - 2)(3x - 2y) \][/tex]
21) [tex]\( 5x(a^2 + 1) + (x + 1)(a^2 + 1) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(5x(a^2 + 1)\)[/tex] y [tex]\((x + 1)(a^2 + 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((a^2 + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a^2 + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ 5x(a^2 + 1) + (x + 1)(a^2 + 1) = (a^2 + 1)(5x + x + 1) = (a^2 + 1)(6x + 1) \][/tex]
11) [tex]\( 4x(m - n) + n - m \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\(4x(m - n)\)[/tex] y [tex]\((n - m)\)[/tex] (después de reacomodar) tienen el factor común [tex]\((m - n)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((m - n)\)[/tex]:
[tex]\[ 4x(m - n) + (n - m) = (m - n)(4x - 1) \][/tex]
23) [tex]\( (m + n)(a - 2) + (m - n)(a - 2) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((m + n)(a - 2)\)[/tex] y [tex]\((m - n)(a - 2)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((a - 2)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((a - 2)\)[/tex]:
[tex]\[ (m + n)(a - 2) + (m - n)(a - 2) = (a - 2)(m + n + m - n) = 2m(a - 2) \][/tex]
25) [tex]\( (x - 3)(x - 4) + (x - 3)(x + 4) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((x - 3)(x - 4)\)[/tex] y [tex]\((x - 3)(x + 4)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 3)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 3)\)[/tex]:
[tex]\[ (x - 3)(x - 4) + (x - 3)(x + 4) = (x - 3)(x - 4 + x + 4) = (x - 3)(2x) = 2x(x - 3) \][/tex]
27) [tex]\( (a + b - c)(x - 3) - (b - c - a)(x - 3) \)[/tex]
1. Observamos que ambos términos [tex]\((a + b - c)(x - 3)\)[/tex] y [tex]\((b - c - a)(x - 3)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x - 3)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x - 3)\)[/tex]:
[tex]\[ (a + b - c)(x - 3) - (b - c - a)(x - 3) = (x - 3)(a + b - c - b + c + a) = (x - 3)(2a) = 2a(x - 3) \][/tex]
29) [tex]\( a(n + 1) - b(n + 1) - n - 1 \)[/tex]
1. Agrupamos convenientemente [tex]\(a(n + 1) - b(n + 1) - (n + 1)\)[/tex] y observamos que tienen el factor común [tex]\((n + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((n + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ a(n + 1) - b(n + 1) - (n + 1) = (a - b - 1)(n + 1) \][/tex]
31) [tex]\( (1 + 3a)(x + 1) - 2a(x + 1) + 3(x + 1) \)[/tex]
1. Observamos que todos los términos [tex]\((1 + 3a)(x + 1)\)[/tex], [tex]\(-2a(x + 1)\)[/tex], y [tex]\(3(x + 1)\)[/tex] tienen el factor común [tex]\((x + 1)\)[/tex].
2. Factorizamos [tex]\((x + 1)\)[/tex]:
[tex]\[ (1 + 3a)(x + 1) - 2a(x + 1) + 3(x + 1) = (1 + 3a - 2a + 3)(x + 1) = (a + 4)(x + 1) \][/tex]
