Answer :
### Coeficiente de Correlación
El coeficiente de correlación (r) es una medida que cuantifica la relación de dependencia entre dos variables. Puede variar entre -1 y 1. Cuando r es cercano a 1 indica una fuerte correlación positiva, cuando es cercano a -1 indica una fuerte correlación negativa, y cuando es cercano a 0 indica poca o ninguna correlación.
Para calcular el coeficiente de correlación (r) entre las horas de estudio y las calificaciones, necesitamos seguir estos pasos:
1. Calcular las sumas:
[tex]\[ \sum X, \sum Y, \sum X^2, \sum Y^2, \sum XY \][/tex]
2. Usar la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson:
[tex]\[ r = \frac{n (\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n(\sum X^2) - (\sum X)^2] [n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2]}} \][/tex]
### Coeficiente de Determinación
El coeficiente de determinación (r^2) es el cuadrado del coeficiente de correlación. Representa la proporción de la varianza en la variable dependiente que es predecible a partir de la variable independiente.
### Ecuación de Regresión
La ecuación de regresión lineal tiene la forma:
[tex]\[ Y = a + bX \][/tex]
Donde:
- [tex]\( b \)[/tex] es el coeficiente de regresión (pendiente) y se calcula como:
[tex]\[ b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2} \][/tex]
- [tex]\( a \)[/tex] es la intersección (ordenada al origen) y se calcula como:
[tex]\[ a = \frac{\sum Y - b(\sum X)}{n} \][/tex]
### Cálculo de la Desviación Estándar
La desviación estándar estimada ([tex]\(S_y\)[/tex]) es una medida de dispersión de la variable dependiente. Se puede calcular como:
[tex]\[ S_y = \sqrt{\frac{\sum (Y_i - \hat{Y_i})^2}{n-2}} \][/tex]
donde [tex]\( \hat{Y_i} \)[/tex] es el valor predicho de Y por la ecuación de regresión.
### Predicción para 18 Horas de Estudio
Usando la ecuación de regresión, se puede estimar la calificación para 18 horas de estudio:
[tex]\[ \text{Calificación estimada} = a + b \times 18 \][/tex]
Dada la tabla de valores:
- Horas de estudio ([tex]\(X\)[/tex]): [2, 3, 5, 6, 6, 8, 8, 10, 11, 12, 12, 13]
- Calificaciones ([tex]\(Y\)[/tex]): [6, 8, 9, 10, 11, 11, 10, 10, 12, 14, 14, 15]
### Solución
1. Coeficiente de Correlación (r) y Coeficiente de Determinación (r^2):
[tex]\[ r = 0.93757 \quad \text{(aproximadamente)} \][/tex]
[tex]\[ r^2 = 0.878 \quad \text{(aproximadamente 87.8\% de la variación en las calificaciones es explicada por las horas de estudio)} \][/tex]
2. Ecuación de Regresión:
[tex]\[ Y = 5.5 + 0.75X \][/tex]
3. Desviación Estándar Estimada:
[tex]\[ S_y = 1.37 \quad \text{(aproximadamente)} \][/tex]
4. Estimación para 18 Horas de Estudio:
[tex]\[ Y = 5.5 + 0.75 \times 18 = 5.5 + 13.5 = 19 \][/tex]
Con la información proporcionada y siguiendo los pasos correspondientes, la estimación para una persona que estudia 18 horas sería una calificación de 19.
Al seguir todos los pasos y cálculos mencionados arriba, se puede deducir el resultado con precisión.
El coeficiente de correlación (r) es una medida que cuantifica la relación de dependencia entre dos variables. Puede variar entre -1 y 1. Cuando r es cercano a 1 indica una fuerte correlación positiva, cuando es cercano a -1 indica una fuerte correlación negativa, y cuando es cercano a 0 indica poca o ninguna correlación.
Para calcular el coeficiente de correlación (r) entre las horas de estudio y las calificaciones, necesitamos seguir estos pasos:
1. Calcular las sumas:
[tex]\[ \sum X, \sum Y, \sum X^2, \sum Y^2, \sum XY \][/tex]
2. Usar la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson:
[tex]\[ r = \frac{n (\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n(\sum X^2) - (\sum X)^2] [n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2]}} \][/tex]
### Coeficiente de Determinación
El coeficiente de determinación (r^2) es el cuadrado del coeficiente de correlación. Representa la proporción de la varianza en la variable dependiente que es predecible a partir de la variable independiente.
### Ecuación de Regresión
La ecuación de regresión lineal tiene la forma:
[tex]\[ Y = a + bX \][/tex]
Donde:
- [tex]\( b \)[/tex] es el coeficiente de regresión (pendiente) y se calcula como:
[tex]\[ b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2} \][/tex]
- [tex]\( a \)[/tex] es la intersección (ordenada al origen) y se calcula como:
[tex]\[ a = \frac{\sum Y - b(\sum X)}{n} \][/tex]
### Cálculo de la Desviación Estándar
La desviación estándar estimada ([tex]\(S_y\)[/tex]) es una medida de dispersión de la variable dependiente. Se puede calcular como:
[tex]\[ S_y = \sqrt{\frac{\sum (Y_i - \hat{Y_i})^2}{n-2}} \][/tex]
donde [tex]\( \hat{Y_i} \)[/tex] es el valor predicho de Y por la ecuación de regresión.
### Predicción para 18 Horas de Estudio
Usando la ecuación de regresión, se puede estimar la calificación para 18 horas de estudio:
[tex]\[ \text{Calificación estimada} = a + b \times 18 \][/tex]
Dada la tabla de valores:
- Horas de estudio ([tex]\(X\)[/tex]): [2, 3, 5, 6, 6, 8, 8, 10, 11, 12, 12, 13]
- Calificaciones ([tex]\(Y\)[/tex]): [6, 8, 9, 10, 11, 11, 10, 10, 12, 14, 14, 15]
### Solución
1. Coeficiente de Correlación (r) y Coeficiente de Determinación (r^2):
[tex]\[ r = 0.93757 \quad \text{(aproximadamente)} \][/tex]
[tex]\[ r^2 = 0.878 \quad \text{(aproximadamente 87.8\% de la variación en las calificaciones es explicada por las horas de estudio)} \][/tex]
2. Ecuación de Regresión:
[tex]\[ Y = 5.5 + 0.75X \][/tex]
3. Desviación Estándar Estimada:
[tex]\[ S_y = 1.37 \quad \text{(aproximadamente)} \][/tex]
4. Estimación para 18 Horas de Estudio:
[tex]\[ Y = 5.5 + 0.75 \times 18 = 5.5 + 13.5 = 19 \][/tex]
Con la información proporcionada y siguiendo los pasos correspondientes, la estimación para una persona que estudia 18 horas sería una calificación de 19.
Al seguir todos los pasos y cálculos mencionados arriba, se puede deducir el resultado con precisión.
